Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & 8 & 17 & - 28 5 & 2 & - 7 & 8 3 & 5 & 11 & - 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & 8 & 17 & - 28 \\ 5 & 2 & - 7 & 8 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 \end{array}]$

Étape 1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & 8 & 17 & - 28 & 0 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & 8 & 17 & - 28 & 0 \\ 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{5} & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & \frac{- 28}{5} & \frac{0}{5} 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & \frac{- 28}{5} & \frac{0}{5} \\ 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 5 & 2 & - 7 & 8 & 0 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 5 - 5 \cdot 1 & 2 - 5 (\frac{8}{5}) & - 7 - 5 (\frac{17}{5}) & 8 - 5 (- \frac{28}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 2 - 5 (\frac{8}{5}) & - 7 - 5 (\frac{17}{5}) & 8 - 5 (- \frac{28}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & - 6 & - 24 & 36 & 0 \\ 3 & 5 & 11 & - 18 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & - 6 & - 24 & 36 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{8}{5}) & 11 - 3 (\frac{17}{5}) & - 18 - 3 (- \frac{28}{5}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & - 6 & - 24 & 36 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{6}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{6}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot - 24 & - \frac{1}{6} \cdot 36 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & - 6 & 0 \\ 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \cdot 4 & - \frac{6}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 6 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{28}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{8}{5} \cdot 0 & \frac{8}{5} - \frac{8}{5} \cdot 1 & \frac{17}{5} - \frac{8}{5} \cdot 4 & - \frac{28}{5} - \frac{8}{5} \cdot - 6 & 0 - \frac{8}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 4 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 3 x_{3} + 4 x_{4} = 0$

$x_{2} + 4 x_{3} - 6 x_{4} = 0$

$0 = 0$

Étape 4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 x_{3} - 4 x_{4} \\ - 4 x_{3} + 6 x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$